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No corre por que es un objeto, tienes que crear una clase para correrlo, pero si no entiendes como solo agrega estas lineas en la clase y listo ahora si lo corres:

public static void main(String A[])
{
ELIMGAUSS EG=new ELIMGAUSS();
double[][] Sistema={{1,2,3,8},{-2,1,-1,-5},{0,-1,1,15}};//tu matriz del sistema
double[][] Res=EG.ELIM();
//mostrar los resultados
for(int i=0; i<Res.length; i++)
{
for(int j=0; j<Res[0].length; j++)
System.out.print(Res[j]+" ");
System.out.println("");
}
}